トーラスとレイの交差判定には四次方程式を解く必要があると前回言及しました．
四次方程式の解法はいくつかあるのですが，そのいずれの過程でも三次方程式の解法が出てきます．
なのでまずは三次方程式の解法を説明するのですが，その中で使ういくつかの道具について説明します．
中高レベルのものばっかりですが，あくまでここはメモなので悪しからず．
二項定理
$$ (a+b)^{n}=\sum^n_{k=0}{}_n C_k a^{n-k}b^{k} $$
$${}_n C_k$$は組み合わせ．
\({}_n C_k=\frac{{}_n P_{k}}{k!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}\)
とくに$$n=2, n=3, n=4$$をこれから使うので書き下しておきます．
\(\begin{array} \\
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \\
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \\
(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \\
\end{array}\)
二次方程式の解
これはお馴染みですね．一応導出過程を全部書いておきます．
\(\begin{array}
Ax^2 + Bx + C = 0 \\
A(x^2 + \frac{B}{A}x) + C = 0 \\
A\left((x + \frac{B}{2A})^2 – (\frac{B}{2A})^2\right) + C = 0 \\
A(x + \frac{B}{2A})^2 – A\cdot(\frac{B}{2A})^2 + C = 0 \\
A(x + \frac{B}{2A})^2 – A\cdot\frac{B^2}{4A^2} + C = 0 \\
A(x + \frac{B}{2A})^2 – \frac{B^2}{4A} + C = 0 \\
A(x + \frac{B}{2A})^2 = \frac{B^2}{4A} – C \\
(x + \frac{B}{2A})^2 = \frac{\frac{B^2}{4A} – C}{A} \\
(x + \frac{B}{2A})^2 = \frac{\frac{B^2 – 4AC}{4A}}{A} \\
(x + \frac{B}{2A})^2 = \frac{B^2 – 4AC}{4A^2} \\
x + \frac{B}{2A} = \pm \sqrt{\frac{B^2 – 4AC}{4A^2}} \\
x + \frac{B}{2A} = \frac{\pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A} \\
x = -\frac{B}{2A} + \frac{\pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A} \\
x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A} \\
\end{array}\)
根と係数の関係
二次方程式の場合
二次方程式$$Ax^2 + Bx + C = 0$$の二つの根が$$\alpha, \beta$$であるとき，
\(\begin{array} \\
(x – \alpha)(x – \beta)=0 \\
x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta=0 \\
\end{array}\)
根と係数の関係は，
\(\begin{array} \\
Ax^2 + Bx + C=0 \\
x^2 + \frac{B}{A}x + \frac{C}{A}=0 \\
\end{array}\)
から
\( \begin{array} \\
\alpha + \beta=-\frac{B}{A} \\
\alpha\beta=\frac{C}{A} \\
\end{array}\)
となる．
三次方程式の場合
三次方程式$$Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0$$の三つの根が$$\alpha, \beta, \gamma$$であるとき，
\(\begin{array} \\
(x – \alpha)(x – \beta)(x – \gamma)=0 \\
(x^2 -(\alpha + \beta)x + \alpha\beta)(x – \gamma)=0 \\
x^3 -(\alpha + \beta)x^2 + \alpha\beta x – \gamma x^2 + \gamma(\alpha + \beta)x – \alpha\beta\gamma)=0 \\
x^3 -(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x – \alpha\beta\gamma=0 \\
\end{array}\)
根と係数の関係は，
\(\begin{array} \\
Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0 \\
x^3 + \frac{B}{A}x^2 + \frac{C}{A}x + \frac{D}{A}=0
\end{array}\)
から
\(\begin{array} \\
\alpha + \beta + \gamma = -\frac{B}{A} \\
\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma = \frac{C}{A} \\
\alpha\beta\gamma = – \frac{D}{A} \\
\end{array}\)
となる．
判別式
n次方程式には重根，虚根を含めてn個の根が存在する．
このn個の根の全ての組み合わせの差の総乗を計算すると重根の有無が分かる
(どれか一つの組み合わせがゼロになれば式全体がゼロになるため)．
方程式の次数によっては虚根を含むのかといったことも分かる．
n次方程式の根を$$a_{1},a_{2},a_{3},\ldots,a_{n}$$として判別式$$D$$を以下のように定義する．
\( D\equiv\prod^{}_{1\leq i
二乗が入っているのは，根と係数の関係で$$D$$を計算できるようにするため．
また上式で判別式を導くと分母に最大次数の係数$$A$$が残るので以下のように定義する場合もある（こっちの方が一般的かも）．
$$ D\equiv{A^{2(n-1)}}\prod^{}_{1\leq i
二次方程式の判別式
二次方程式の解は二つしかないので判別式は比較的簡単です．
二次方程式$$Ax^2 + Bx + C = 0$$の解が$$\alpha, \beta$$とすると
[latex]\begin{array} \\
D= A^2(\alpha – \beta)^2 \\
D= A^2(\alpha^2 – 2\alpha\beta + \beta^2) \\
D= A^2(\alpha^2 + \beta^2 – 2\alpha\beta) \\
D= A^2\left((\alpha + \beta)^2 – 2\alpha\beta – 2\alpha\beta\right) \\
D= A^2\left((\alpha + \beta)^2 – 4\alpha\beta\right) \\
\end{array}\)
解と係数の関係を使うと
\(\begin{array} \\
D= A^2\left((\frac{-B}{A})^2 – 4\frac{C}{A}\right) \\
D= A^2\left(\frac{B^2}{A^2} – \frac{4AC}{A^2}\right) \\
D= A^2\frac{B^2 – 4AC}{A^2} \\
D= B^2 – 4AC \\
\end{array}\)
というわけでおなじみの形式になりました．
チルンハウス変換
n次方程式$$ a_{0}x^n + a_{1}x^{n-1} + a_{2}x^{x-2} + \ldots + a_{n-1}x + a_{n}=0 $$が与えられたとき，
\(
x=u-\frac{a_{1}}{{}_n C_{n-1}a_{0}}
\)
と置くとn-1次の項を消去することができる．
例)
$$ Ax^2 + Bx^2 + C = 0 $$
$$ x=u-\frac{B}{2A} $$と置く．
\(\begin{array} \\
A\left(u-\frac{B}{2A}\right)^2 + B\left(u-\frac{B}{2A}\right) + C = 0 \\
A\left(u^2 – \frac{B}{A}u + \frac{B^2}{4A^2}\right) + Bu – \frac{B^2}{2A} + C = 0 \\
Au^2 – Bu + \frac{B^2}{4A} + Bu – \frac{B^2}{2A} + C = 0 \\
Au^2 \underline{ – Bu + Bu }+ \frac{B^2}{4A} – \frac{B^2}{2A} + C = 0 \\
Au^2 – \frac{B^2}{4A} + C = 0 \\
\end{array}\)
このまま$$u$$について整理していくと二次方程式の解の公式を得ることが出来る．
\(\begin{array} \\
Au^2 = \frac{B^2}{4A} – C \\
Au^2 = \frac{B^2-4AC}{4A} \\
u^2 = \frac{B^2-4AC}{4A^2} \\
u = \pm\sqrt{\frac{B^2-4AC}{4A^2}} \\
u = \frac{\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A} \\
x + \frac{B}{2A} = \frac{\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A} \\
x = \frac{-B}{2A} + \frac{\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A} \\
x = \frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A} \\
\end{array}\)
複素数
$$ a + bi (a,b\in {\bf R}) $$で表される数を複素数といい，aを実部,bを虚部という．
$$i$$は虚数単位といい$$ x^2 + 1 = 0 $$の根の一つである．
$$i$$は以下のような性質を持つ．
$$ i^2 = -1 $$, $$ i = \sqrt{-1} $$
$$z$$が複素数であるとき，$$z$$の実部を$$Re z$$，虚部を$$Im z$$などと書く場合がある．
$$z=a + bi$$に対して$$a – bi$$である複素数を共役な複素数といい，$$\overline{z}$$と書く．
1の立方根
三次方程式$$ (x-1)(x^2 + x + 1)=0 $$の根を考える．
この方程式は$$ x^3=1 $$と等しい．
\(\begin{array} \\
(x-1)(x^2 + x + 1)=0 \\
x^3 + x^2 + x – x^2 -x -1=0 \\
x^3-1=0 \\
x^3=1 \\
\end{array}\)
根の一つが1であることは自明である．
ではこの式の二次方程式部分$$ x^2 + x + 1=0 $$を解くと，
\(\begin{array} \\
x=\frac{-(1)\pm\sqrt{1^2 – 4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1} \\
x=\frac{-1\pm\sqrt{1 – 4}}{2} \\
x=\frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2} \\
x=\frac{-1\pm\sqrt{3\cdot (-1)}}{2} \\
x=\frac{-1\pm\sqrt{3\cdot i^2}}{2} \\
x=\frac{-1\pm\sqrt{3}\cdot\sqrt{i^2}}{2} \\
x=\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2} \\
\end{array}\)
この互いに共役な根の一方を$$\omega$$と書く場合がある．
1の立方根は以下のようになる．
$$ \sqrt[3]{1}=1, \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}, \frac{-1-\sqrt{3}i}{2} $$
任意の実数$$A$$の立方根は以下のようになる．
\(\begin{array} \\
\sqrt[3]{A}=\sqrt[3]{A\cdot 1} \\
=\sqrt[3]{A}\cdot\sqrt[3]{1} \\
=\sqrt[3]{A}\cdot 1, \sqrt[3]{A}\cdot \omega, \sqrt[3]{A}\cdot \overline{\omega} \\
\end{array}\)
また，$$\omega$$には以下のような性質がある．
$$ \omega^2=\overline{\omega}=\omega^{-1} $$
$$ \omega^{-1}=\frac{1}{\omega}=\frac{\omega^2}{\omega^3}=\frac{\omega2}{1}=\omega^2 $$
$$\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$とすると，
\(\begin{array} \\
\omega^2 = \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2 \\
=\left(\frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{3}i}{2}\right)^2 \\
=\left(\frac{-1}{2}\right)^2 + 2\cdot\frac{-1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}i}{2} + \left(\frac{\sqrt{3}i}{2}\right)^2 \\
=\frac{1}{4} – \frac{\sqrt{3}i}{2} – \frac{3}{4} \\
=\frac{-2}{4} – \frac{\sqrt{3}i}{2} \\
=\frac{-1}{2} – \frac{\sqrt{3}i}{2} \\
=\frac{-1 – \sqrt{3}i}{2} \\
=\overline{\omega} \\
\end{array}\)
このくらいかな．後で書き足すかも．
参考: