三次方程式の解法はいくつかあるみたいですが，ここではタルタリア-カルダノの解法を説明します．高次方程式の解法は詐欺みたいな置き換えがたくさん出てくるので覚悟して見てください(笑
参考文献は例によってオイラーの贈物，附録に載ってます．あとはCubic function – Wikipedia, the free encyclopediaにも解法が詳しく書かれています．
タルタリア-カルダノの解法
二次の項を消去する
最初にチルンハウス変換で二次の項を消して，分解二次方程式を作って解を得る，という流れになります．
\(Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0\)
$$x = t – \frac{B}{3A}$$と置きます．
\(A\left(t – \frac{B}{3A}\right)^3 + B\left(t – \frac{B}{3A}\right)^2 + C\left(t – \frac{B}{3A}\right) + D = 0\)
\(A\left(t^3 – 3\frac{B}{3A}t^2 + 3\left(\frac{B}{3A}\right)^{2}t – \left(\frac{B}{3A}\right)^3\right) + B\left(t^2 – 2\frac{B}{3A}t + \left(\frac{B}{3A}\right)^2\right) + Ct – \frac{BC}{3A} + D = 0\)
\(A\left(t^3 – \frac{B}{A}t^2 + \frac{B^2}{3A^2}t – \frac{B^3}{27A^3}\right) + B\left(t^2 – \frac{2B}{3A}t + \frac{B^2}{9A^2}\right) + Ct – \frac{BC}{3A} + D = 0\)
\(At^3 – Bt^2 + \frac{B^2}{3A}t – \frac{B^3}{27A^2} + Bt^2 – \frac{2B^2}{3A}t + \frac{B^3}{9A^2} + Ct – \frac{BC}{3A} + D = 0\)
\(At^3 + \frac{B^2}{3A}t – \frac{B^3}{27A^2} – \frac{2B^2}{3A}t + \frac{B^3}{9A^2} + Ct – \frac{BC}{3A} + D = 0\)
\(At^3 + \left(\frac{B^2}{3A} – \frac{2B^2}{3A} + C\right)t – \frac{B^3}{27A^2} + \frac{B^3}{9A^2} – \frac{BC}{3A} + D = 0\)
\(At^3 + \left(\frac{B^2 – 2B^2}{3A} + C\right)t + \frac{3B^3 – B^3}{27A^2} – \frac{BC}{3A} + D = 0\)
\(At^3 + \left(C – \frac{B^2}{3A}\right)t + \frac{2B^3}{27A^2} – \frac{BC}{3A} + D = 0\)
\(t^3 + \left(\frac{C}{A} – \frac{B^2}{3A^2}\right)t + \frac{2B^3}{27A^3} – \frac{BC}{3A^2} + \frac{D}{A} = 0\)
$$t^2$$の項がなくなりました．
変数の置き換え
$$P=\frac{C}{A} – \frac{B^2}{3A^2}$$, $$Q=\frac{2B^3}{27A^3} – \frac{BC}{3A^2} + \frac{D}{A}$$と置いて，
\(t^3 + Pt + Q = 0\)
ここで変数の置き換えをします．$$t=u+v$$と置きます．
\((u+v)^3 + P(u+v) + Q = 0\)
\(u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3 + P(u+v) + Q = 0\)
\((u^3 + v^3 + Q) + \left(3u^2v + 3uv^2 + P(u + v)\right) = 0\)
\((u^3 + v^3 + Q) + \left(3uv(u + v) + P(u + v)\right) = 0\)
\((u^3 + v^3 + Q) + (u + v)(3uv + P) = 0\)
この式が$$0$$になるためには，式の前半$$u^3 + v^3 + Q$$と後半$$(u + v)(3uv + P)$$が共に$$0$$になる必要があります．式の後半に関しては$$3uv + P$$が$$0$$になればいいわけです．
式の前半：
$$ u^3 + v^3 + Q = 0 $$
$$ u^3 + v^3 = -Q $$
式の後半：
$$ 3uv + P = 0 $$
$$ 3uv = -P $$
$$ uv = -\frac{P}{3} $$
次数を合わせるため辺々を三乗します．
\(u^3v^3 = -\frac{P^3}{27}\)
さらに変数を置き換えましょう．$$n=u^3$$, $$m=v^3$$と置きます．
\(n + m = -Q \)
\(nm = -\frac{P^3}{27}\)
ここまで来ると見えてくると思います．これは$$n,m$$を解とする二次方程式とその係数の関係の形になっています．この方程式を，求める三次方程式の分解方程式といいます．
\((z – n)(z – m)=0\)
\(z^2 -mz -nz + nm=0\)
\(z^2 -(m + n)z + nm=0\)
\(z^2 -(-Q)z + (-\frac{P^3}{27})=0\)
\(z^2 + Qz -\frac{P^3}{27}=0\)
\(z=\frac{-Q \pm \sqrt{(-Q)^2 – 4\cdot 1\cdot (-\frac{P^3}{27})}}{2\cdot 1}\)
\(z=\frac{-Q \pm \sqrt{Q^2 + \frac{4P^3}{27}}}{2}\)
\(z=-\frac{Q}{2} \pm \frac{1}{2}\sqrt{Q^2 + \frac{4P^3}{27}}\)
\(z=-\frac{Q}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\sqrt{Q^2 + \frac{4P^3}{27}}\)
\(z=-\frac{Q}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}\left(Q^2 + \frac{4P^3}{27}\right)}\)
\(z=-\frac{Q}{2} \pm \sqrt{\frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27}}\)
このzの二次方程式の解が先ほどの，$$n, m$$になっています（どっちがどっちでもいい）．
\(n=-\frac{Q}{2} + \sqrt{\frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27}}\)
\(m=-\frac{Q}{2} – \sqrt{\frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27}}\)
$$n=u^3$$, $$m=v^3$$だったので元に戻します．
\(u^3=-\frac{Q}{2} + \sqrt{\frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27}}\)
\(v^3=-\frac{Q}{2} – \sqrt{\frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27}}\)
最終的な解は，$$t=u+v$$の形なのですが$$u,v$$の根は各々3つあります．ただし，
\(uv = -\frac{P}{3}\)
という関係があるので，どちらか一方のみを使えば良いことになります．ここでは$$u^3$$を使います．$$u$$の実根を$$u_{1}$$とすると，
\(u_{1}=\sqrt[3]{-\frac{Q}{2} + \sqrt{\frac{Q^2}{4} + \frac{P^3}{27}}}\)
残りの共役複素解はそれぞれ
\(u_{2}=u_{1}\omega, u_{3}=u_{1}\overline{\omega}\)
となります．
\(uv = -\frac{P}{3}\)
\(v = -\frac{P}{3u}\)
の関係から($$\omega$$の性質に注意)，
\(v_{1}=-\frac{P}{3u_{1}}\)
\(v_{2}=-\frac{P}{3u_{2}}=-\frac{P}{3u_{1}\omega}=v_{1}\cdot\frac{1}{\omega}=v_{1}\omega^2\)
\(v_{3}=-\frac{P}{3u_{3}}=-\frac{P}{3u_{1}\overline{\omega}}\)
\(=v_{1}\cdot\frac{1}{\overline{\omega}}=v_{1}\overline{\omega}^2\)
\(=v_{1}\omega^4=v_{1}\omega^3\cdot\omega=v_{1}\omega\)
$$t$$の解は以下のようになります．
\(\begin{eqnarray*} \\ t & = & u_{1} + v_{1}, \\ & & u_{2} + v_{2}, \\ & & u_{3} + v_{3} \\ \end{eqnarray*}\)
$$u_{1},v_{1}$$を使って表すならば，
\(\begin{eqnarray*} \\ t & = & u_{1} & + & v_{1}, \\ & & u_{1}\omega & + & v_{1}\omega^{2} , \\ & & u_{1}\omega^2 & + & v_{1}\omega \\ \end{eqnarray*}\)
ただし，$$x = t – \frac{B}{3A}$$なので，
\(\begin{eqnarray*} \\ x & = & u_{1} + v_{1} – \frac{B}{3A}, \\ & & u_{2} + v_{2} – \frac{B}{3A}, \\ & & u_{3} + v_{3} – \frac{B}{3A}\\ \end{eqnarray*}\)
特殊な場合
$$P=0$$のとき
\(t^3 + 0\cdot t + Q = 0\)
\(t^3 + Q = 0\)
\(t^3 = -Q\)
\(t = -\sqrt[3]{Q}, -\sqrt[3]{Q}\omega, -\sqrt[3]{Q}\omega^2\)
$$Q=0$$のとき
\(t^3 + Pt + 0 = 0\)
\(t^3 + Pt = 0\)
\(t(t^2 + P) = 0\)
\(t=0, \pm\sqrt{P}i\)
$$P=0$$かつ$$Q=0$$のとき
\(t^3 + 0\cdot t + 0 = 0\)
\(t^3= 0\)
\(t=0\)
次回は四次方程式の解法．